Предположим, что количества бюллетеней являются функциями от программ партий. Введем также довольно сильное упрощающее предположение - "гипотезу локальности". Согласно гипотезе локальности, каждая группа избирателей реагирует не на программы в целом, а исключительно на ту часть программ, которая касается лично их - выбор каждой группы основывается на сравнении двух величин - обязательств двух партий в отношении данной группы:

B1(x)=(M1(x),M2(x),x); (3)
B2(x)=(M2(x),M1(x),x);

функция, задающая долю бюллетеней в пользу каждой партии от каждой группы, не зависит от номера партии - это означает, что избиратели реагируют только на программы партий, а не на их имена.

Будем предполагать также, что суммарное количество бюллетеней, которые обе партии получают от каждой группы, равно численности этой группы, то есть что нет избирателей не участвующих в выборах:

(M1(x),M2(x),x)+(M2(x),M1(x),x)=1. (4)

Если подставить (3) в (2), то при известном виде функций первая партия будет изменять свою программу, максимизируя выражение (2), а вторая партия будет изменять свою программу, пытаясь минимизировать это выражение. Устойчивая политическая жизнь будет возможна в случае, если будут существовать такие программы, указанные изменения которых будут невозможны - каждая из партий, изменяя свою программу, будет только проигрывать.

Наибольшее практическое значение имеет частный случай, когда устойчивые программы обеих партий совпадают - в этом случае общество сохраняет единство после выборов. При этом обе партии наберут почти одинаковое количество голосов, победитель определится по малым отклонениям от обсуждаемой модели.

Простейшее необходимое условие устойчивости появляется, если рассматривать всюду малые модификации программ, не меняющие общее количество ресурса. Если рассматриваются модификации программ M(x) то условие будет иметь вид

P(x)(M1,M2,x)/M1|M1=M2=M(x)M1(x)dx=0; (5)
M1(x)dx=0.

для первой партии, и совершенно аналогично для второй партии. Чтобы выполнить указанные условия, достаточно потребовать чтобы выполнялись равенства

P(x)(M1,M2,x)/M1|M1=M2=M(x)=const (6)
P(x)(M1,M2,x)/M2|M1=M2=M(x)=const

которые и определяют одинаковую для обеих партий программу M(x). Из (6) можно видеть, что при составлении программ партий необходимо ориентироваться не только на численность групп, но и на то, насколько резко эти группы способны реагировать на изменение программы - вдвое менее многочисленная группа, реагирующая на модификации программы вдвое более резко, окажет столь же заметное влияние на формирование программы.

Вид функций может быть предметом социопсихологических исследований, если он известен то можно решить уравнения (6) и найти программу партий. В качестве иллюстрации зададимся следующей функцией:

=(M1)a(x)/((M1)a(x)+(M2)a(x)), (7)

при этом уравнение (6) примет вид

P(x)a(x)/(4M(x))=const,

то есть будет

M(x)=P(x)a(x)Mtotal/P(y)a(y)dy. (8)

В данном случае программа распределения ресурса будет наделять группы населения пропорционально произведениям их численности на остроту их реакции (производные функций по программам в точке совпадения программ будут пропорциональны параметру a(x)).

Вероятно, рассматриваемый случай двух одинаковых партий реализуется в некоторых современных странах со спокойной внутриполитической жизнью. Не было бы удивительно и если бы политики этих стран оказывали преимущественное внимание тем группам населения, которые в силу своей психологии, сплоченности или других факторов склонны реагировать на предвыборные обещания наиболее остро.

Можно говорить что двухпартийные системы в некоторых случаях реализуют принцип равенства прав на единицу остроты реакции (а не просто равенства прав на одного избирателя).

Выше мы учитывали лишь всюду малые модификации предвыборных программ. Это рассмотрение можно дополнить рассмотрением несколько более широкого класса отклонений, малых в смысле меры. Будем полагать, что в малой окрестности v точки программа первой партии отличается от локально равновесной программы M(), и состоит в том что в этой окрестности M1(x)=M'; причем разность M'-M() не предполагается малой. Кроме этого, имеются всюду малые отклонения программы от равновесной, M(x). Поскольку, согласно (1), суммарный ресурс, распределяемый программой, фиксирован, выполняется соотношение

v(M'-M(x))+M(x)dx=0. (9)

D=v((M',M())-(M(),M()))P()+(M1,M2)/M1|M1=M2=M(x)M(x)P(x)dx, (10)

причем условие устойчивости программы M(X) будет иметь вид D0. С учетом (6) и (9) выражение (10) можно преобразовать, так что необходимое условие устойчивости к изменениям программы рассматриваемого типа будет иметь вид

((M',M())-(M(),M()))(M'-M())(M1,M2)/M1|M1=M2=M(x~). (11)

Геометрически (11) означает что выпуклая оболочка графика функции (M') касается этого графика в точке M'=M(). Если, в качестве иллюстрации, применить (11) к случаю модельной функции вида (7), то нетрудно убедиться что это условие начинает нарушаться при a()>2. Содержательно в этом случае оказывается выгоднее вовсе не учитывать в программе некоторую часть населения, направив средства на стимуляцию поддержки других групп населения. Возникновение неустойчивости обуславливается сильной зависимостью симпатий населения от даже небольших сдвигов программы в сторону предоставления дополнительного ресурса. Сам выбор выбывающей из рассмотрения группы населения в рамках построенной модели оказывается существенно неоднозначным, влекущим за собой встречные действия второй партии - развивается политическая неустойчивость, при этом говорить о каком-либо конкретном гарантированном равенстве уже трудно.

Тем самым, хотя двухпартийная система при некоторых дополнительных условиях и может обеспечивать стабильность, и некоторый вариант равенства, равенства не по числу избирателей, а по суммарной остроте их реакций, сами эти дополнительные условия стабильности, будучи по природе своей социопсихологическими, законодательной регламентации не поддаются. Двухпартийная демократия, из-за конкуренции двух партий за голоса, в первую очередь ориентирована на остро реагирующие группы населения, а существование таких групп, и именно вследствие преимущественной ориентации на них, угрожает дестабилизацией института двухпартийной демократии.

Нетрудно понять, что принципиально возможны подходы к формированию политических программ, и правила политической жизни, при которых опасное влияние остро реагирующих групп населения оказывается демпфированным. Очевидным примером такого рода служит модельная ситуация, когда каждый избиратель формулирует свое распределение бюджета, а итоговый бюджет является средним арифметическим мнений избирателей.

При сопоставлении программы, формируемой усредняющей процедурой, с программой, формируемой двухпартийной конкуренцией, нужно и для усредняющей процедуры принять аналог использованной выше гипотезы локальности. Предположив, что каждый избиратель формируя бюджет исходит только из личных интересов, с учетом того что каждый избиратель должен распределить весь бюджет, в рамках гипотезы локальности (при некоторых оговорках для придания утверждениям формальной точности) получим что каждый предложит выдать весь бюджет себе лично. Однако, после усреднения всех таких бюджетов, очевидно, будет сформирована программа

отличающаяся от программы (8), характерной для случая двухпартийной конкуренции, полной элиминацией социопсихологических факторов.

Видимо, (12) представляет собой программу так называемой "уравниловки", в прямом смысле этого слова. "Уравниловка" и программы распределения средств при двухпартийной конкуренции совпадают, в рамках используемых модельных предположений, если только все группы населения реагируют на модификации программ одинаково остро - если в (8), например, считать что a не зависит от x.

В рамках данных моделей различие между "уравниловкой" (12) и "межпартийной конкуренцией", ведущей к (8), состоит отнюдь не в том что одна из них не учитывает интересы отдельной личности, а вторая учитывает - обе модели базируются на гипотезе локальности, то есть на предположении о полном эгоизме и полной свободе отдельного избирателя, обе в равной мере позволяют учесть его личные вкусы, учесть гетерогенность общества. Различие же состоит в том, что при "уравниловке" более острая реакция на модификацию программ (то что в народе называют "качанием прав") ни на что не влияет, а при двухпартийной конкуренции "качая права" получаешь преимущество в финансировании по отношению к тем кто "качать права" не желает или не может.

Если обращаться к практике политической жизни, то прямое приложение изложенных моделей может оказаться сложным, тем более что анализ политической действительности затрудняется идеологическими завесами. Скажем, более чем спорно, что "уравниловка" была сущностью советского государства в его классический период. Не было ни малейшей "уравниловки", в смысле равных возможностей влиять на расходные статьи бюджета, между Сталиным, комиссарами НКВД и политзеками. Вероятно, даже классическая Англия того же периода, времен Черчилля, могла быть гораздо ближе к "уравниловке" - для этого, быть может, достаточно было иметь примерно одинаковую для всех слоев населения степень остроты реакций. Основная угроза отклонениям от "уравниловки" для таких стран как Англия связана с возникновением групп населения с необычно большой остротой реакции на изменения политических программ. Но если эти группы в самом деле появились в заметном количестве, то при превышении порога остроты реакций должна возникнуть политическая нестабильность, программы партий должны начать резко различаться - а этого в Англии не наблюдается.