Под физическими величинами будем понимать любые функции от полной матрицы плотности. Рассмотрим прежде всего некоторое множество физических величин {B(P(t))}, зависящих явно от матрицы плотности, но не зависящих явно от времени, значения которых позволяют отличать живое от мертвого - множество всех возможных автономных, не зависящих явно от времени, физических определений различия между живым и мертвым, физических определений жизни.

Выделим среди множества возможных физических определений жизни подмножество экзотических определений жизни {Be(P(t))} и дополнение к этому подмножеству {Bn(P(t))} которое назовем подмножеством нормальных определений жизни. По определению, физическое определение жизни является экзотическим, если при некотором каноническом преобразовании живое может стать мертвым или мертвое - живым. Подмножество нормальных определений живого не пусто. Например, если различение живого и мертвого производится по величине формальной (точной) энтропии S: S(P(t))=-SpP(t)lnP(t), то величина S не будет изменяться при унитарных преобразованиях матрицы плотности: S(P)=S(P'), изменение же этой величины со временем может быть индикатором изменения жизни.

Описание с помощью матрицы плотности возможно как для изолированных, так и для неизолированных систем - множество физических определений жизни, как экзотических так и нормальных, может вводиться во всех этих случаях. Однако, в изолированной системе изменение со временем матрицы плотности весьма не произвольно - это изменение по определению подчиняется уравнению (1).

Легко обосновать следующий тезис: При любых нормальных автономных определениях живого в изолированных системах живое не может стать со временем неживым, неживое - живым. В самом деле, если бы переход из неживого состояния в живое, или обратный переход, был бы обнаружим в указанном выше смысле, то, по свойству всех нормальных определений жизни, этот переход был бы обнаружим и при подстановке в эти определения преобразованной посредством любых унитарных преобразований полной матрицы плотности. Однако среди канонических преобразований существует преобразование, переводящее матрицу плотности в данный момент времени в матрицу плотности соответствующую начальному моменту времени. Тем самым все функции Bn(P) будут равны своим значениям в нулевой момент времени, и никогда не покажут наличие изменений - эти функции будут интегралами движения уравнения (1). Наличие множества интегралов движения у (1) было очевидно уже авторам этого уравнения, в 1929 году. Более того, аналоги указанных интегралов движения имелись и в доквантовой физике - в классической механике, в силу уравнения Лиувилля, сохраняются интегралы по фазовому пространству от любых функций, зависящих только от вероятности состояний системы. Именно эти дополнительные интегралы движения, а не сложность решения (1), препятствуют сведению биологии к фундаментальной физике, по крайней мере для некоторых определений живого.

Имеется еще ряд "парадоксальных" тезисов, родственных уже высказанному. Например, представим себе изолированную систему, в которой выделена некоторая подсистема. Для подсистемы имеется множество нормальных определений живого по матрице плотности p подсистемы {bn(p)}. Поскольку матрица плотности подсистемы является функцией матрицы плотности всей системы P, указанное множество принадлежит множеству всех определений живого для изолированной системы, и можно ставить вопрос, в какое из подмножеств определений живого для всей системы попадает множество {bn(p)}. Поскольку подсистема может быть неизолирована от остальных частей системы, уравнение (1) к описанию этой подсистемы может быть неприложимо, а потому при некоторых нормальных определениях живого bn переходы между живым и неживым будут возможны. Однако, очевидно, каждое такое нормальное определение будет для системы в целом экзотическим, для всех таких bn будет bn=Be. Попадание в класс экзотических определений на уровне всей системы следует уже из того, что переходы между живым и неживым для изолированной системы возможны, как было показано, только при экзотических определениях живого. Сама возможность такого непрямого соответствия классификаций на уровне подсистемы и системы в целом обусловлена тем, что при унитарных преобразованиях разбиение на подсистемы, вообще говоря, не сохраняется - несоответствие классов может иметь место и в случае когда система в целом не является изолированной.

Если имеется некоторая процедура сведения биологии к химии, а уже химии - к фундаментальной физике, и в итоге такого сведения переходы между живым и неживым оказываются возможными, то соответствующие данной процедуре поэтапного сведения определения жизни являются экзотическими: проводимый анализ сохраняется и в случае если мы ставим условие сводимости биологии к химии, если только не предполагать несводимости химии к фундаментальной физике.

Возникает вопрос о статусе различных мыслимых определений живого, в частности о статусе экзотических либо нормальных определений живого. При обсуждении статуса базовых определений формальный математический анализ представляется недостаточным.

Приняв за основу любое экзотическое определение живого, мы попадаем в ситуацию, когда при некотором каноническом, допустимом с точки зрения фундаментальной физики, преобразовании способа описания системы неживой объект может быть сделан живым, а живой - неживым. Скажем, стул, только что сколоченный столяром, может рассматриваться как живой, а вроде бы живой человек, являющийся результатом нескольких миллиардов лет эволюции - как мертвый.

Можно попытаться использовать некоторые экзотические определения живого, но наложить дополнительные априорные ограничения на класс допустимых унитарных преобразований. Тем самым, возникнет проблема доопределения живого посредством точного задания допустимого подмножества унитарных преобразований. Однако, структура класса унитарных преобразований видимо мало подходит к тому чтобы ввести такие ограничения логически оправданным образом. С одной стороны, некоторые унитарные преобразования описывают изменение восприятия cистемы при сдвигах, поворотах, переходах в движущиеся системы координат - для этих преобразований определения живого видимо должны вести себя как нормальные, не меняться при таких преобразованиях - иначе пришлось бы, скажем, считать космонавта в летящем корабле по-иному живым чем этого же космонавта на Земле; не видно и оснований как-то запрещать любое каноническое преобразование данного типа. С другой стороны, среди всех прочих унитарных преобразований есть множество как угодно мало отличающихся от тождественных преобразований, а поскольку все унитарные преобразования обратимы естественно считать такие преобразования просто описывающими малые взаимно-однозначные модификации способа описания системы - не видно причин не допускать некоторые или все из таких малых модификаций способов описания. Не видно также и причин не допускать проведение следующего канонического преобразования, если некоторое уже было проведено. Тем самым, приходится допустить по крайней мере все канонические преобразования которые могут быть представлены как результат последовательного применения достаточного числа близких к тождественному канонических преобразований - а в ряде случаев такое широкое множество канонических преобразований совпадает со всеми возможными каноническими преобразованиями. Можно показать, что ограничение класса канонических преобразований только такими, которые могут быть явно представлены как результат последовательного действия совокупности малых канонических преобразований, таких что каждое из них к тому же допускает физическую интерпретацию, ничуть не изменит свойств переопределенных с учетом данных ограничений нормальных и экзотических характеристик живого.

Попытки использования экзотических определений живого выглядели бы неизбежными, если бы не было неэкзотических определений - однако класс нормальных определений живого не пуст. В частности, в этот класс попадают некоторые "энтропийно - информационные" определения живого.

Видимо, можно говорить о наличии выходящей за узконаучные рамки тенденции к ориентации на содержательно близкие к нормальным определения живого. В ряде отношений предлагаемый анализ является попыткой понимания позиции авторов [2], придерживающихся, среди прочего, понимания существования живой материи как противотечения по отношению к тенденции нарастания энтропии. Тем самым, не хотелось бы без достаточных оснований отказываться от использования нормальных определений жизни.

Первым препятствием к использованию нормальных определений жизни кажется то, что при нормальных определениях жизни в изолированной системе, исходно существуя, ни при каких обстоятельствах не может исчезнуть жизнь. Столь "оптимистический" вывод прямо связан, однако, с конкретными математическими свойствами уравнения (1), и дает основание сосредоточиться на статусе этого уравнения. Фактически (1) является определением изолированности, так что можно спросить - как случилось, что физики предпочли именно данное определение изолированности, а не какое-либо другое. Вопрос этот представляется правомерным и потому, что полная изолированность недостижима, а в природе редка даже и частичная изолированность - фактически принимая определение изолированности исследователь, конструируя далее изолированную лабораторную систему, имеет перед собой некий априорный идеал, стремится так изменить природу чтобы достичь изолированности: изолированность исходно появляется как цель - а в формулировке целей вроде бы есть свобода.

Проанализировав возможность сведения биологии к фундаментальной физике, то есть к уравнению (1), естественно рассмотреть соотношение биологии с другими возможными формами физики - в частности, с физикой феноменологической.

Феноменологическая физика, не предписывая природе законов, стремится развить удобные средства описания происходящего. Исторически сложилась ситуация, когда средства описания физических явлений ориентированы на описание с помощью матрицы плотности, как наиболее подробной из принятых сегодня форм описания. Матрица плотности, по определению, эрмитова, а также наделена еще некоторыми априорными, вытекающими из определения [1], свойствами. А именно, след матрицы плотности SpP(t), а значит и сумма собственных значений матрицы плотности, не меняется со временем, а сама матрица плотности задает, как легко видеть из определения ее в [1], коэффициенты неотрицательно определенной квадратичной формы, так что собственные значения матрицы плотности не могут принимать отрицательных значений. Неотрицательность собственных значений матрицы плотности существенна и при вычислении квантовой энтропии. Тем самым, априорные ограничения на матрицу плотности состоят в эрмитовости и в том, что собственные значения матрицы плотности формально аналогичны вероятностям - вероятности также неотрицательны, их сумма также неизменна во времени. Кроме указанных вытекающих из определения, никаких ограничений на матрицу плотности нет. При описании динамики матрицы плотности будем полагать дополнительно, что изменения матрицы плотности во времени имеют плавный характер - матрицу плотности можно будет дифференцировать по времени.

Получить множество феноменологических уравнений, в равной мере обладающих полной общностью, достаточно просто. Можно брать любые достаточно общие уравнения, описывающие динамику собственных значений матрицы плотности, и дополнять их общими уравнениями для собственных функций. Продемонстрируем такую процедуру на примере, когда имеется дискретный спектр собственных значений Pi, подчиняющихся марковскому уравнению

dtPi(t)=Kij(t)Pj(t)-Pi(t)Kij(t). (2)

Введя диагональную матрицу плотности с элементами Piij и операторы F(t) с элементами Fij=(Kij/2), можно переписать (2) в операторной форме

idtP(t)=i[F(t),P(t)F+(t)]+i[F(t)P(t),F+(t)]. (3)

Коэффициенты перехода между состояниями Kij в силу их определения неотрицательны. Тем самым, структура уравнения (2) обеспечивает сохранение неотрицательности собственных значений Pi а также суммы этих величин. (2) при специальном выборе Kij и, соответственно, (3) при специальном выборе оператора F способно аппроксимировать любую динамику собственных значений - в этом отношении уравнения (2,3) достаточны для целей феноменологического описания. Что касается произвольной динамики собственных функций, то такая произвольная динамика обеспечивалась уже посредством подбора зависимости гамильтониана от времени в уравнениях (1), без необходимости привлечения феноменологических поправок, поэтому в наиболее общем случае следует добавить к правой части (3) правую часть уравнения (1). В приложении приведены феноменологические уравнения для случая непрерывного спектра. При желании список возможных феноменологических уравнений может быть легко расширен.

Обратимся теперь к нормальным определениям живого. В частности, энтропия может быть выражена соотношением

S=-SpPlnP=-Pi(t)lnPi(t),

Уравнения (2,3) позволяют обсудить некоторые ситуации эксперимента с системами, внешне напоминающими изолированные. Можно задаться вопросом о признаках, позволяющих отличать изолированные системы от квазиизолированных. По видимому, окончательных и надежных критериев в этом вопросе ожидать трудно - ведь матрицы плотности прямому измерению слабо поддаются. Однако, если не предполагать за природой особого коварства, некоторые ориентировочные признаки можно указать.

Рассмотрим изолированную систему, составленную из двух изолированных подсистем 1 и 2. Это означает, что гамильтониан системы представляет собой сумму гамильтонианов, один из которых действует только на переменные системы 1, а второй - только на переменные системы 2: H=H1+H2. При этом если в начальный момент матрицы плотности систем 1 и 2 были нескоррелированы, то есть матрица плотности была произведением матриц плотности систем 1 и 2, P=P1P2, то нескоррелированность сохранится и в дальнейшем, как легко установить с помощью (1). Проверить изолированность систем 1 и 2 можно, убедившись что выполняются отдельные уравнения для обеих подсистем. Если ввести операцию взятия следа по переменным только i-ой подсистемы, Spi то можно определить матрицы плотности систем 1 и 2 по матрице плотности всей системы P: P1=Sp2P, P2=Sp1P. Строгая нескоррелированность в указанном выше смысле сохраняется со временем и в случае, когда гамильтонианы систем 1 и 2 синхронно изменяются со временем - когда изолированные системы подвергаются синхронным внешним воздействиям, поддающимся точному описанию в терминах зависимости гамильтонианов этих систем от времени.

Несколько иначе будет выглядеть ситуация для феноменологической динамики матрицы плотности. Рассмотрим частный случай, когда операторы F пропорциональны, с коэффициентом пропорциональности a, произведению унитарных операторов, каждый из которых действует на переменные только одной из систем 1 и 2, а гамильтониан является суммой гамильтонианов, действующих на переменные только одной из двух частей: F=af1f2, f1f1+=f2f2+=1.

В указанном случае на основе определения матриц плотности подсистем и правил перестановки операторов при вычислении следа матриц, с учетом унитарности операторов f можно удостовериться, что наряду с уравнением для матрицы плотности всей системы имеются отдельные уравнения для матриц плотности каждой подсистемы:

idtP(t)=[P,(H1+H2)]+ia*a([f1f2,Pf1+f2+]+[f1f2P,f1+f2+]),
idtP1(t)=[P1H1]+ia*a([f1,P1f1+]+[f1P1,f1+]),
idtP2(t)=[P2H2]+ia*a([f2,P2f2+]+[f2P2,f2+]),

однако у полученных уравнений, вообще говоря, при f отличных от нуля, нет решений вида P=P1P2, то есть если в начальный момент и имеет место нескоррелированность, со временем возникнет скоррелированность несмотря на то что исследования систем 1 и 2 по отдельности покажут, что они описываются независимыми уравнениями. Скоррелированность может возникать со временем при различных феноменологических поправках, соответствующих различному виду оператора F, в частности может возникать и в случаях, когда оператор F коммутативен с гамильтонианом H, не зависящим от времени - при этом энергия системы будет сохраняться, однако эффекты неизолированности, эффекты скоррелированности, будут возможны, хотя и никак не проявят себя, как можно показать, в системах, пребывающих в термодинамическом равновесии.

Заключая рассмотрение, заметим что делая утверждения о сводимости либо несводимости биологии к физике, о важности или неважности конкретного физического явления или теории для понимания биологических процессов, видимо можно указывать, с ориентацией на какое определение жизни делаются эти утверждения, поскольку адекватность такого рода утверждений, как показывает детальный анализ, критическим образом зависит от того, что понимается под жизнью. Коль скоро единого физического определения жизни нет, нет и единой, очевидной для каждого, постановки задачи о сопоставлении биологии и физики.

Автор признателен многим коллегам за довольно многочисленные и содержательные дискуссии в течение последних лет по затрагиваемым в статье быть может экзотическим - а может быть и нормальным - проблемам.

В случае непрерывного спектра собственным значениям оператора плотности соответствует мера (x,t). Если принять для этой меры марковское уравнение

t(x,t)=c(x,y)(y,t)dy-c(y,x)dy(x,t), (1)

с неотрицательными вероятностями перехода c(x,y), и ввести для вероятностей перехода представление c(x,y)=u(x,y)u(x,y)*, то для диагонального представления оператора плотности p(x,y,t)=(x,t)(x-y) (1) эквивалентно уравнению

tp(x,y,t)= {exp(ikx)u(x,z)exp(-ikz)p(z,v,t)(exp(iky)u(y,v,t)exp(-ikv))*dzdv -exp(ikx)u(x,z)exp(-ikz)(exp(ikv)u(v,z)exp(-ikz))*p(v,y,t)dzdv/2 -p(x,z,t)(exp(ikv)u(v,z)exp(-ikz))*exp(ikv)u(v,y)exp(-iky)dzdv/2}dk. (2)

Выражение kx в случае неодномерного пространства следует понимать как скалярное произведение - далее ради краткости будем минимизировать обозначения, указывающие на возможную неодномерность пространства, поскольку введение соответствующих детальных обозначений представляется очевидным, содержательная же роль размерности пространства в настоящее время, напротив, неясна. Используя оператор плотности P с ядром p(x,y,t), и операторы U и X ядра которых в представлении когда оператор плотности диагонален равны u(x,y) и x(x-y) соответственно, уравнение (2) можно записать в форме

tP= {exp(ikX)Uexp(-ikX)P(t)(exp(ikX)Uexp(-ikX))+ -(exp(ikX)Uexp(-ikX))+exp(ikX)Uexp(-ikX)P(t)/2 -P(t)(exp(ikX)Uexp(-ikX))+exp(ikX)Uexp(-ikX)/2}. (3)

Уравнение (3) инвариантно по форме по отношению к каноническим преобразованиям, неизменным по времени - к замене

P=VP'V+, U=VU'V+, X=VX'V+, VV+=1, (4)

где предполагается что оператор канонического преобразования V во времени не меняется. В общем случае переменных во времени операторов V инвариантность формы уравнения будет иметь место, если дополнить правую часть уравнения (3) коммутатором гамильтониана H с оператором плотности, умноженным на мнимую единицу, и таким что изменение во времени оператора канонического преобразования описывается уравнением

tV=iHV. (5)

Рассмотрим еще особый случай, когда динамика меры (x,t) описывается детерминированным уравнением:

t(x,t)=-xw(x,t)(x,t), (6)

так что в диагональном представлении ядро оператора плотности p(x,y,t)=(x,t)(x-y) подчиняется уравнению

tp(x,y,t)=-xw(x,t)p(x,y,t)-yw(x,t)p(x,y,t). (7)

Введя обозначение для оператора, являющегося оператором градиента в представлении когда оператор плотности диагонален, и обозначив как W оператор ядро которого равно w(x)(x-y) в представлении когда оператор плотности диагонален, можно записать (7) в операторной форме

tP=-WP+PW. (8)

Оператор антиэрмитов, оператор W эрмитов, кроме того оператор W коммутативен с оператором плотности P. В частном случае, когда операторы и W коммутативны, что в терминах исходного уравнения (6) означает равенство нулю дивергенции,

divw(x,t)=xw(x,t)=0, (9)

можно, введя обозначение

H=iW, (10)

привести (8) к виду

itP=[P,H], (11)

то есть к операторной форме, характерной для современной фундаментальной физики. Если (9) выполнено, оператор H будет эрмитовым. Если же (9) не имеет места, сведение (8) к (11) оказывается невозможным. Если (9) имеет место, то энтропия, определяемая как

S=(x,t)ln((x,t))dx, (12)

постоянна во времени, а в более общем случае, в рамках (8), может как возрастать так и убывать. Поведение уравнения (8) по отношению к каноническим преобразованиям вполне аналогично поведению (3).